Obrnljiva matrika (tudi invertibilna matrika in nesingularna, nedegenerirana ali regularna matrika) je v linearni algebri kvadratna matrika z inverzom. Z drugimi besedami, če je matrika obrnljiva, se jo lahko pomnoži z njeno obratno matriko, da se dobi enotsko matriko. Obrnljive matrike so enake velikosti kot njihova obratna matrika.
Inverz matrike predstavlja inverzno operacijo, kar pomeni, da če se matrika rabi na določenem vektorju, nato pa se rabi obratna matrika, je rezultat prvotni vektor.
Definicija
Kvadratna matrika velikosti se imenuje obrnljiva, če obstaja takšna kvadratna matrika velikosti , da velja
kjer označuje enotsko matriko velikosti , pri tem pa je množenje običajno množenje matrik V tem primeru potem matriko enolično določa matrika in se imee inverz matrike , označen z . Matrična inverzija je postopek iskanja matrike, ki pomnožena z izvirno matriko da enotsko matriko. Obrnljiva matrika ima neničelno determinanto.
Osnovna zamisel
Matriko se lahko razume kot pravilo za transformacijo vektorjev. Na primer, realna matrika velikosti definira linearno transformacijo:
iz množice -teric realnih števil v samo sebe. Matrika je obrnljiva, ko je to transformacijo mogoče razveljaviti z drugo linearno transformacijo. V tem primeru obstaja takšna matrika , da raba in nato ali raba in nato vrne vsak vektor tja, kjer se je začel.
Geometrijsko gledano ornljiva matrika ne strne prostora v množico nižjih razsežnosti. Pošilja različne vektorje različnim vektorjem in doseže vsak vektor v ciljnem prostoru. Za realno matriko se to odraža v njeni determinanti: obrnljiva matrika ima neničelno determinanto, medtem ko matrika z determinanto nič strne prostornino v nič in ni obrnljiva.
Algebrsko obrnljivost pomeni, da ima linearni sistem
enotno rešitev za vsak vektor . Enakovredno stolpci tvorijo bazo vektorskega prostora. Te in mnoge druge enakovredne karakterizacije povzema izrek o obrnljivi matriki.
Zgledi
Na primer naslednja matrika velikosti :
Matrika je obrnljiva, saj ima inverz , ki se lahko potrdi z računanjem:
Da se preveri, ali je obrnljiva brez iskanja inverza, se lahko izračuna njena determinanta , ki ni enaka nič.
Na drugi strani je naslednja matrika neobrnljiva:
Ni obrnljiva, ker imata različna in enaki vrednosti , na primer in oba data enak rezultat . Tako je nemogoče obrniti transformacijo , saj različni vhodi ustvarijo enak izhod. Determinanta je enaka 0, kar je potrebni in zadostni pogoj, da matrika ni obrnljiva.
Obstaja 6 obrnljivih matrik (0, 1) z elementoma {0, 1} velikosti (dvojiških matrik): :
174 obrnljivih matrik (0, 1) velikosti :
Kriterij obrnljivosti
Matrika (nad poljem, kot so realna števila) je obrnljiva, če in samo če je edina rešitev enačbe ničelni vektor. To pomeni, da je ničelnost matrike enaka nič: njen ničelni prostor je sestavljen samo iz ničelnega vektorja. Enakovredno je matrika velikosti obrnljiva, če je njen rang , po izreku o rangu in ničelnosti. Za takšno matriko velja, da je polnega ranga. Geometrijsko to pomeni, da je stolpični prostor matrike ves iz . Karakterizacije ranga in ničelnosti so povezane na naslednji način: poln rang pomeni, da se matrika preslika na vse (surjektivno), ničelnost nič pa pomeni, da je matrika injetivna (ena na ena). To pomeni, da je bijekcija in je zato obrnljiva.
Bolj računsko dovršen kriterij za obrnljivost izhaja iz standardnega načina določanja ranga in ničelnosti matrike. Za kvadratno matriko je matrika obrnljiva, če in samo če je njena ešelonska oblika z reduciranimi vrsticami enotska matrika. Razlog je v tem, da je to edina ešelonska oblika z reduciranimi vrsticami, ki ima poln rang: vse enice vzdolž diagonale in ničle povsod drugje.
Drug kriterij je, da je matrika obrnljiva, če in samo če njena determinanta ni enaka nič.
Sklici
Viri
Zunanje povezave
Kategorija:Linearna algebra Kategorija:Matrike Kategorija:Determinante Kategorija:Teorija matrik