У математичній теорії алгебр Лі вільна алгебра Лі є вільним об'єктом у категорії алгебр Лі із гомоморфізмами Лі. Виходячи з вільної алгебри, можна побудувати алгебри Лі з заданими генераторами і співвідношеннями подібно до задання групи.
Означення
Універсальна властивість Вільною алгеброю Лі породженою множиною називається алгебра Лі, що задовольняє універсальну властивість:
Існує вкладення і якщо є вкладенням множини у довільну алгебру Лі то існує єдиний гомоморфізм алгебр Лі , для якого .Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 9.9
Із універсальної властивості випливає ізоморфізм усіх вільних алгебр Лі породжених множиною Прямі побудови подані нижче показують існування вільних алгебр Лі.
Пряма побудова Нехай позначає довільне поле. Для множини позначимо вільну асоціативну K-алгебру породжену множиною і — відображення вкладення. На цій алгебрі можна ввести комутатор
і з цією операцією є алгеброю Лі. Визначимо
де перетин береться по всіх підалгебрах Лі у що містять .
є вільною алгеброю Лі породженою множиною .Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 9.3: Free Lie algebras
Згідно з побудовою і можна розглядати як вкладення
Альтернативна побудова Бурбакі Бурбакі подав альтернативну конструкцію вільної алгебри Лі. Для непорожньої множини і — то вільна магма на і — асоціативна алгебра із базисом із продовженням множення по лінійності. В ньому розглядається ідеал , породжений усіма елементами виду
Тоді є вільною алгеброю породженою множиною .
Приклади і властивості Якщо є одноелементною множиною, то є алгебрі многочленів від однієї змінної . З введеним вище комутатором є комутативною алгеброю Лі. За означенням є найменшою підалгеброю Лі, що містить і такою очевидно є . Тому тривіальній одновимірній алгебрі Лі.
Універсальна обгортуюча алгебра алгебри є рівною .Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 9.10
Породжуючі елементи і співвідношення
Нехай непорожня множина. Мономом Лі називається скінченна послідовність дужок Лі з елементів . Прикладом моному Лі може бути , Словом Лі називається скінченна лінійна комбінація мономів Лі. Наприклад . Для множини слів Лі у множині позначимо найменший ідеал, що містить множину . Тоді факторалгебра Лі
є заданою породжуючою множиною і співвідношеннями .
Приклади , оскільки ідеалом у цьому випадку є .
Нехай елементами є всі вирази виду . Тоді є комутативною алгеброю для якої елементи утворюють базис векторного простору.
Нехай маємо множину і деякі цілі константи, менші або рівні 0 для різних індексів. Нехай породжена елементами
для для і входжень елементів для і входжень елементів Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Якщо є коефіцієнтами матриці Картана то є скінченновимірною напівпростою алгеброю Лі з даною матрицею Картана. Ці співвідношення таким чином використовуються для доведення існування напівпростих алгебр Лі для будь-якої системи коренів.Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Beispiel 9.12. Для більш загального типу матриць ці ж співвідношення використовуються для означення алгебр Каца — Муді.
Примітки
Див. також Задання групи Універсальна обгортуюча алгебра
Література Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.