Задання групи — в математиці спосіб визначення групи за допомогою множини породжувальних елементів S, таких що кожен елемент групи може бути записаний через добуток цих елементів, і множини співвідношень породжувальних елементів R. Як правило, таке задання позначається так:
Задання групи є дуже компактним і зручним способом визначення групи, проте із задання групи часто важко встановити навіть найпростіші властивості групи, зокрема чи є група скінченною, комутативною, тривіальною і т. д. Особливо часто задання груп використовується в комбінаторній і геометричній теорії груп, а також топології.
Формальне визначення Нехай T — деяка множина, а <S> — вільна група над цією множиною. Нехай тепер R — деяка множина слів над S тобто деяка підмножина <S>. Позначимо через N нормальне замикання множини R, тобто мінімальну нормальну підгрупу групи <S>, що містить всі елементи R. Визначимо тепер факторгрупу:
Елементи множини S називаються породжувальними (генерувальними) елементами, а елементи R співвідношеннями. Якщо деяка група ізоморфна до побудованої вище групи то кажуть, що ця група має задання Якщо — деякий елемент множини співвідношень то часто пишуть r=1. Також використовується вираз x=y де і
Властивості Для кожної групи існує задання Справді нехай G деяка група. Позначимо через <G> вільну групу над множиною елементів G. Тоді згідно з властивостями вільної групи одиничне відображення з G в G єдиним чином продовжується до гомоморфізму з <G> в G. Позначимо тепер R множину елементів <G>, що входять до ядра цього гомоморфізму. Тоді <G|R> є одним із способів задання групи. Зрозуміло, що це задання є дуже надлишковим. Теорема Діка. Якщо , а (тобто множини породжувальних елементів у двох груп однакові і множина співвідношень групи H містить всі співвідношення групи G і, можливо ще й інші) тоді H ізоморфна деякій факторгрупі <G>. Справді якщо N нормальне замикання R, а N' нормальне замикання , тоді Тоді згідно з теоремою про ізоморфізм маємо що й доводить твердження.
Приклади В поданій нижче таблиці показані деякі задання груп. Для усіх груп вибрані найпростіші задання. Група Задання групи Коментарі Вільна група на множині S Група вільна бо немає співвідношень. Cn, циклічна група порядку n D2n, діедрична група порядку 2n r- поворот, f - симетричне відображення D∞, безмежна діедрична група Dicn, діциклічна група Z × Z Zm × Zn Вільна абелева група S де R множина всіх комутаторів елементів S Симетрична група, Sn породжувальні елементи: співвідношення: , , Тут перестановка, що міняє місцями i -ий елемент з i+1 -им. the braid group, Bn породжувальні елементи: співвідношення: , Тетраедрична група, T ≅ A4 Октаедрична група, O ≅ S4 Ікосаедрична група, I ≅ A5 Група кватерніонів, Q PSL2(Z) є вільним добутком циклічних груп Z2 і Z3Група Гейзенберга Група Баумслага — Солітера, B(m,n) Група Тітса
Скінченнопороджені і скінченнозадані групи Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжувальних елементів, то така група називається скінченнопородженою. Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжувальних елементів і скінченною множиною співвідношень, то така група називається скінченнозаданою.
Див. також Перетворення Тітце
Джерела Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. Johnson, D. L. (1990). Presentations of Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37824-9