Опукла геометрія — частина геометрії, яка вивчає опуклі множини, здебільшого, у евклідовому просторі. Опуклі множини виникають природним чином в багатьох областях, у тому числі в обчислювальній геометрії, опуклому аналізі, комбінаторній геометрії, функціональному аналізі, геометрії чисел, , лінійному програмуванні, теорії ймовірностей.
Історія Опукла геометрія відносно молода дисципліна. Хоча перший відомий внесок в опуклу геометрію був зроблений ще у античні часи і його можна знайти у працях Евкліда і Архімеда, але самостійним розділом математики дисципліна стала в кінці XIX століття, у основному завдяки роботам і Германа Мінковського для просторів вимірностей два і три. Значна частина їх результатів була незабаром узагальнена на простори більшої вимірності.
Важливість опуклої геометрії для прикладних задач проявилася в середині XX століття, коли розвиток опуклої оптимізації (опуклого програмування) потребував фактів, які стосуються опуклих тіл. Справа в тому, що ряд класичних нерівностей та оцінок, отриманих на початку XX століття для довільних опуклих тіл, не дуже залежать (або не залежать зовсім) від вимірності простору, це дозволило уникнути «прокляття розмірності» — традиційної проблеми у прикладній математиці, коли складність задачі катастрофічно зростає із збільшенням числа зміннихВ. Ю. Протасов, Опукла геометрія: від робіт Мінковського до сучасних завдань оптимізації. Літня школа «Сучасна математика», Дубна, 2011. .
Перший загальний огляд опуклої геометрії в евклідовому просторі був опублікований у 1934 році і . У 1993 році під редакцією і вийшов двотомний «Довідник з опуклої геометрії», що включає результати, отримані в XX столітті.
Класифікація Згідно математичної предметної класифікації математична дисципліна «опукла і дискретна геометрія» включає три основних гілки: Загальна опуклість, Багатогранники, Дискретна геометрія.
«Загальна опуклість» потім поділяється на: Аксіоматична і узагальнена опуклість Опуклі множини без обмеження на розмірність Опуклі множини в топологічних векторних просторах Опуклі множини в двовимірних просторах (включаючи опуклі криві) Опуклі множини в тривимірних просторах (включаючи опуклі поверхні) Опуклі множини в — мірних просторах (включаючи опуклі гіперповерхні) Банахови простору кінцевої розмірності Випадкові опуклі множини та інтегральна геометрія Асимптотична теорія опуклих тіл Апроксимація опуклими множинами Варіанти опуклих множин (зіркоподібні, — опуклі, і так далі) Теореми, подібні теоремі Хеллі і геометрична теорія трансверсалей Інші проблеми комбінаторної опуклості Довжина, площа, об'єм Змішаний об'єм і пов'язані поняття Нерівності та екстремальні задачи Опуклі функції і опукле програмування Сферична і гіперболічна опуклість
Термін «опукла геометрія» використовується також в комбінаториці як назва однієї з абстрактних моделей опуклих множин, одна з яких еквівалентна антиматроїдам.
Див. також
Примітки
Посилання
Переклад на англійську: Convexity through the ages, in: P. M. Gruber, JM Wills (editors), Convexity and its Applications, pp. 120–130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.