Геометрія чисел — розділ теорії чисел, який вивчає опуклі тіла і цілочисельні решітки в багатовимірному просторі.
Більш загально можна сказати, що це застосування в теорії чисел геометричних понять і методів. Наприклад, якщо рівняння або нерівності має розв'язки в цілих числах, то це означає, що геометричне тіло, яке визначається цим рівнянням або нерівністю, містить одну або більше точок цілочисельної решітки. У ході досліджень було доведено фундаментальна теорема Мінковського, з якої автор отримав ряд важливих наслідків в теорії лінійних і квадратичних форм, а також в теорії діофантових наближень. Згодом істотний внесок у геометрію чисел зробили Георгій Вороний, , , Зігель та інші.
Геометрії чисел має тісний зв'язок з іншими областями математики, особливо з функціональним аналізом та діофантовими наближеннями.
Результати Мінковського
Припустимо, що Γ є решіткою в n-вимірному евклідовому просторі і K є опуклим центрально-симетричним тілом. Теорема Мінковського, яку іноді називають першою теоремою Мінковського, стверджує, що якщо , то K містить ненульовий вектор у Γ.
Друга теорема Мінковського посилює першу теорему. Формулюється наступним чином.
Нехай послідовність мінімумів λk визначається як інфімум чисел λ таких, що λK містить k лінійно незалежних векторів Γ. Тоді теорема Мінковського про послідовні мінімуми стверджує, щоCassels (1971) p.203
Пізніші дослідження в геометрії чисел У 1930–1960 дослідження з геометрії чисел проводили багато теоретиків (серед них Георгій Вороний, Луї Морделл, Гарольд Девенпорт і Карл Людвіг Зігель). В останні роки Ленстра, Бріон, Барвінок розробили комбінаторні теорії, які перераховують решітки точок в деяких опуклих тілах.Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász, and Beck and Robins.
Теорема про підпростір В. М. Шмідта В геометрії чисел, теорему про підпростір отримав у 1972 році Вольфганг Шмідт.Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526-551.
У ній говориться, що якщо L1,…,Ln лінійно незалежні лінійні форми від n змінних з алгебраїчними коефіцієнтами і якщо ε> 0 будь-яке дійсне число, то ненульові цілі точки x з
лежать у скінченному числі лінійних підпросторів .
Примітки
Джерела
Мінковський Г. Геометрія чисел. Лейпциг, 1911 р. (перевидана в 1996 р.) Чеботарьов М. Г. Нотатки з алгебри і теорії чисел. Вчені записки Казанського Університету, 1934. (перевидана в 1994 р.) Касселс Дж. В. С. Геометрія чисел. М.: Мир, 1965. Колмогоров А. М., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX століття. М.: Наука. Том 1 Математична логіка. Алгебра. Теорія чисел. Теорія ймовірностей. 1978, стор 143–151. Грубер П. М., Леккеркеркер К. Г. Геометрія чисел, М.: Наука, 2008. ISBN 5-02-036036-8 J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions). M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988 Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])