Комбінаторна або дискретна геометрія — розділ геометрії, в якому вивчаються комбінаторні властивості геометричних об'єктів та пов'язані з ними конструкції. У комбінаторній геометрії розглядають скінченні і нескінченні дискретні множини або структури базових однотипних геометричних об'єктів (точок, прямих, кіл, многокутників, тіл з однаковим діаметром, цілочисельних ґраток тощо) і ставлять питання, пов'язані з властивостями різних геометричних конструкцій з цих об'єктів або на цих структурах. Проблеми комбінаторної геометрії простягаються від конкретних «предметно»-комбінаторних питань (хоча і не завжди з простими відповідями) — замощення, пакування кіл на площині, формула Піка — до питань загальних і глибоких — гіпотеза Борсука, проблема Нельсона — Ердеша — Гадвігера.
Історія Хоча многогранники, замощення і пакування куль досліджувалися ще Кеплером і Коші, сучасна комбінаторна геометрія почала формуватися в кінці 19-го століття. Одними з перших завдань були: щільність пакування кіл , проективна конфігурація Штайніца, геометрія чисел Мінковського і проблема чотирьох фарб ).
Приклади задач Уявлення про діапазон задач комбінаторної геометрії дають такі приклади.
Лема Віталі про покриття — комбінаторний геометричний результат. Широко використовується в теорії міри.
Задача про можливі і найщільніші пакування кіл на площині і куль у просторі. Найщільніші пакування кіл і куль видаються очевидними. Але повне математичне доведення для кіл було отримано тільки в 1940 році. Для куль комп'ютерне доведення гіпотези Кеплера з'явилося через 400 років у 1998 році в роботі математика .
Задача зі щасливим кінцем стверджує, що в будь-якій достатньо великій множині точок у загальному положенні на площині можна знайти точок, які є вершинами опуклого многокутника. Гіпотезу Ердеша — Секереша про найменше число точок, які обов'язково містять опуклий -кутник, на сьогодні не доведено. Дана задача є також завданням теорії Рамсея.
Теорема Мінковського про опукле тіло. Нехай — замкнуте опукле тіло, симетричне відносно початку координат -вимірного евклідового простору, що має об'єм . Тоді в знайдеться цілочисельна точка, відмінна від . Ця теорема поклала початок геометрії чисел.
Гіпотеза Борсука стверджує, що будь-яке тіло діаметра в -вимірному евклідовому просторі можна розбити на частину так, що діаметр кожної частини буде меншим, ніж . Цю гіпотезу було доведено для розмірностей і , але спростовано для просторів більшої розмірності. За відомою сьогодні оцінкою вона не правильна для просторів розмірності 64 і більшеThomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture .
Задача Данцера — Ґрюнбаума полягає в пошуку скінченної множини з якомога більшої кількості точок у багатовимірному просторі, між якими можна побудувати тільки гострі кути.
Див. також Обчислювальна геометрія Скінченна геометрія Геометрія чисел Комбінаторика багатогранників Алгебрична комбінаторика
Примітки
Посилання