V teoriji verjetnosti in povezanih področjih je stohastični ali naključni proces matematični objekt, običajno opredeljen kot družina slučajnih spremenljivk v verjetnostnem prostoru, kjer ima indeks družine pogosto interpretacijo časa. Stohastični procesi se široko uporabljajo kot matematični modeli sistemov in fenomenov, ki se očitno razlikujejo na naključni način. To so na primer rast populacije bakterij, električni tok, ki fluktuira zaradi toplotnega hrupa ali gibanje molekul plina. Stohastični procesi imajo uporabo na številnih področji, kot je biologija, kemija, ekologija, nevroznanost, fizika, procesiranje slik, procesiranje signalov, teorija nadzora, teorija informacij, računalniška znanost in telekomunikacije. Poleg tega so navidez naključne spremembe na finančnih trgih vodile v obsežno uporabo stohastičnih procesov v financah.
Aplikacije preučevanje fenomenov so po drugi strani navdihnili predloge za nove stohastične procese. Primeri teh stohastičnih proceso so na primer Wienerjev proces ali Brownianski proces gibanja, ki ga je uporabljal Louis Bachelier pri preučevanju sprememb cen na Pariški borzi, in pri Poissonovem procesu, ki ga je uporabljal A. K. Erlang pri preučevanju števila telefonskih klicev, ki se zgodijo v določenem časovnem obdobju. Ta dva stohastična procesa veljata za najpomembnejša in osrednja v teoriji stohastičnih procesov, in sta bila izumljena ponovno in neodvisno, tako pred, kakor tudi po Bachelierju in Erlangu v različnih okoljih in državah.
Izraz naključna funkcija je prav tako v uporabi za stohastične ali naključne procese, saj lahko stohastični proces interpretiramo tudi kot naključni element v funkcijskem prostoru. Izraza stohastični proces in naključni proces lahko uporabljamo izmenično, pogosto brez specifičnega matematičnega prostora za set, ki indeksira naključne spremenljivke. Toda ta dva izraza sta pogosto uporabljana ko so naključne spremenljivke indeksirane po celih številih ali intervalih realne premice. Če so naključne spremenljivke indeksirane po Kartezični ravnini ali nekem višjedimenzionalnem Evklidskem prostoru, običajno zbirko naključnih spremenljivk namesto tega imenujemo naključno področje. Vrednosti stohastičnega procesa niso vselej številke in so lahko tudi vektorji ali drugi matematični objekti.
Stohastične procese lahko na podlagi njihovih matematičnih lastnosti grupiramo v različne kategorije, med katerimi so random walki, martingali, Markovske verige, Lévyjevi procesi, Gaussovi procesi, naključna področja, obnovitveni procesi in razvejitveni procesi. Preučevanje stohastičnih procesov uporablja matematično znanje in tehnike iz verjetnosti, infinitezimalnega računa, linearne algebre, teorije množic in topologije, pa tudi vej matematične analize, kot so realna analiza, mere, Fourierjeva analiza in funkcionalna analiza. Teorija stohastičnih procesov velja za pomemben prispevek k matematiki in je še naprej dejavno področje raziskav zaradi tako teoretičnih razlogov, kot tudi aplikacij.
Uvod
Stohastični ali naključni proces lahko opredelimo kot zbirko naključnih spremenljivk, ki so indeksirane po določenem matematičnem setu, kar pomeni, da je vsaka naključna spremenljivka stohastičnega procesa unikatno povezana z elementom seta. Ta set uporabljamo za indeksiranje naključnih spremenljivk, ki se imenuje indeksna množica. Zgodovinsko je bila indeksna množica podmnožica realne premice, kot so naravne številke, ki dajejo indeksni množici interpretacijo časa. Vsaka naključna spremenljivka v zbirki zavzame vrednost iz istega matematičnega prostora, znanega kot prostor stanj. Ta prostor stanj je lahko na primer število, številska premica ali -dimenzionalni Evklidski prostor. Povečanje je količina za katero se stohastični prostor spremeni med dvema indeksnima vrednostma, ki ga pogotso interpretiramo kot dve točki v času. Stohastični proces ima lahko veliko izidov, zaradi svoje naključnosti in en izid stohastičnega procesa se imenuje med drugimi imeni vzorčna funkcija ali realizacija.
Opombe
Sklici
Kategorija:Podatki Kategorija:Statistika