Konvergéntna matríka je v linearni algebri matrika, ki pri potenciranju konvergira k ničelni matriki.
Ozadje
Ko zaporedne potence matrike postanejo majhne (ko se vsi elementi matrike približajo ničli po dvigu na zaporedne potence), matrika konvergira k ničelni matriki. Regularna razdelitev nesingularne matrike povzroči konvergentno matriko . Polkonvergentna razdelitev matrike povzroči polkonvergentno matriko . Splošna iterativna metoda konvergira za vsak začetni vektor, če je konvergentna, in pod določenimi pogoji, če je polkonvergentna.
Definicija
Matrika velikosti se imenuje konvergentna matrika, če velja:
za vsak in .
Zgled
Naj je matrika:
Če se izračunajo njene zaporedne potence, sledi:
in v splošnem:
Ker velja:
in:
je konvergentna matrika. Pri tem se upošteva, da je , kjer predstavlja spektralni polmer matrike , saj je 1/4 edina lastna vrednost matrike .
Opredelitve
Naj je matrika velikosti . Naslednje značilnosti so enakovredne temu, da je konvergentna matrika: za neko naravno formo, za vse naravne forme, , za vsak .
Iterativne metode
Splošna iterativna metoda vključuje postopek, ki pretvori sistem linearnih enačb:
v ekvivalentni sistem oblike:
za neko matriko in vektor . Ko se izbere začetni vektor , se zaporedje približnih vektorjev rešitev generira z izračunom:
za vsak . Za poljubni začetni vektor zaporedje , definirano z enačbo () za vsak in , konvergira k edinstveni rešitvi enačbe (), če in samo če je , oziroma, če je konvergentna matrika.
Regularna razdelitev
Razdelitev matrike je izraz, ki predstavlja dano matriko kot vsoto ali razliko matrik. V sistemu linearnih enačb () zgoraj, kjer je matrika nesingularna, se lahko matrika razdeli, oziroma se zapiše kot razlika matrik in :
tako, da se lahko enačba () zapiše kot zgornja enačba (). Izraz () je regularna razdelitev matrike , če in samo če je in , oziroma, če imata in samo nenegativne elemente. Če je razdelitev () regularna razdelitev matrike in je , potem je in je konvergentna matrika. Zato metoda () konvergira.
Polkonvergentna matrika
Matrika velikosti se imenuje polkonvergentna matrika, če limita:
obstaja. Če je morda singularna, vendar je enačba () konsistentna, oziroma, če je v območju , zaporedje, definirano z enačbo (), konvergira k rešitvi enačbe () za vsak vektor , če in samo če je polkonvergentna. V tem primeru se razdelitev () imenuje polkonvergentna razdelitev matrike .
Glej tudi
Sklici
Viri
Kategorija:Matrike