200px|thumb|right|Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928), po katerem se imenuje Lorentzeva grupa. Lorentzeva grúpa [lórenceva ~] je v fiziki in matematiki grupa vseh Lorentzevih transformacij prostora-časa Minkowskega, klasično in kvantno okolje za vse (negravitacijske) fizikalne pojave. Imenuje se po nizozemskem fiziku Hendriku Antoonu Lorentzu (1853–1928).
Naslednji zakoni, enačbe in teorije na primer upoštevajo Lorentzevo simetrijo:
kinematični zakoni posebne teorije relativnosti Maxwellove enačbe elektromagnetnega polja v teoriji elektromagnetizma Diracova enačba v teoriji elektrona standardni model fizike delcev
Lorentzeva grupa izraža osnovno simetrijo prostora in časa vseh znanih temeljnih zakonov narave. V dovolj majhnih območjih prostora-časa, kjer so gravitacijske spremembe zanemarljive, so fizikalni zakoni Lorentzevo invariantni na enak način kot posebna teorija relativnosti.
Osnovne lastnosti
Lorentzeva grupa je podgrupa Poincaréjeve grupe – grupe vseh togih premikov (izometrij) prostora-časa Minkowskega. Lorentzeve transformacije so natančneje togi premiki, ki puščajo izhodišče nepomično. Lorentzeva grupa je torej podgrupa izotropije glede na izhodišče grupe togih premikov prostora-časa Minkowskega. Zaradi tega se Lorentzeva grupa včasih imenuje homogena Lorentzeva grupa, Poincaréjeva grupa pa nehomogena Lorentzeva grupa. Lorentzeve transformacije so primeri linearnih transformacij – splošni togi premiki prostora-časa Minkowskega so afine transformacije.
Fizikalna definicija
Predpostavita se dva inercialna opazovalna sistema in ter dve točki , Lorentzeva grupa je množica vseh transformacij med obema opazovalnima sistemoma, ki ohranja hitrost svetlobe, širjajočo se med obema točkama:
V matrični obliki so to vse takšne linearne transformacije , da velja:
Imenujejo se Lorentzeve transformacije.
Matematična definicija
Matematično se lahko Lorentzevo grupo opiše kot nedoločeno ortogonalno grupo , matrično Liejevo grupo, ki ohranja kvadratno formo:
na (vektorski prostor, opremljen s to kvadratno formo se včasih zapiše kot ). Ta kvadratna forma se v fiziki, ko se jo postavi v matrično obliko (glej klasična ortogonalna grupa), interpretira kot metrični tenzor prostora-časa Minkowskega.
Opomba o zapisu
Za Lorentzevo grupo se pogosto uporabljata tako zapisa kot . Prvi se nanaša na matrike, ki ohranjajo metrično signaturo z enim + in tremi −, drugi pa na metrično signaturo z enim − in tremi +. Ker skupni predznak metrike v definirajoči enačbi ni pomemben, sta nastali grupi matrik identični. Zdi se, da nekateri sektorji v sodobnem času spodbujajo uporabo zapisa (1,3) namesto (3,1), vendar se slednji še vedno pogosto uporablja v trenutni praksi in ga je uporabljal velik del zgodovinske literature. Vse, kar je opisano v tem članku, velja tudi za zapis , mutatis mutandis. Ti premisleki se nanašajo tudi na sorodne definicije (npr. proti ).
Matematične lastnosti
Lorentzeva grupa je šestrazsežna kompaktna neabelova realna Liejeva grupa, ki ni povezana. Štiri povezane komponente niso enostavno povezane. Identična komponenta (to je koponenta, ki vsebuje identični element) Lorentzeve grupe je sama grupa in se pogosto imenuje omejena Lorentzeva grupa. Označuje se . Omejena Lorentzeva grupa je sestavljena iz tistih Lorentzevih transformacij, ki ohranjajo tako usmerjenost prostora kot smer časa. Njena fundamentalna grupa ima red 2, njen univerzalni krov, nedoločena spinska grupa , pa je izomorfna tako specialni linearni grupi kot simplektični grupi . Ti izomorfizmi omogočajo Lorentzevi grupi, da deluje na veliko število matematičnih struktur, pomembnih za fiziko, predvsem na spinorje. Tako je v relativistični kvantni mehaniki in kvantni teoriji polja zelo pogosto, da se imenuje Lorentzeva grupa, pri čemer se razume, da je njena specifična reprezentacija (vektorska reprezentacija).
Rekurentna reprezentacija delovanja Lorentzeve grupe na prostor Minkowskega uporablja bikvaternione, ki tvorijo kompozicijsko algebro. Lastnost izometrije Lorentzevih transformacij velja v skladu z značilnostjo kompozicije .
Druga lastnost Lorentzeve grupe je konformnost ali ohranjanje kotov. Lorentzevi pospeški delujejo s hiperboličnim vrtenjem prostorsko-časovne ravnine, takšna »vrtenja« pa ohranjajo hiperbolični kot, mero rapidnosti, ki se uporablja v relativnosti. Zato je Lorentzeva grupa podgrupa konformne grupe prostora-časa.
Upoštevati je treba, da se ta članek nanaša na kot na »Lorentzevo grupo«, kot na »pravo Lorentzevo grupo« in kot na »omejeno Lorentzevo grupo«. Mnogi avtorji (zlasti v fiziki) uporabljajo ime »Lorentzeva grupa« za (ali včasih celo ) namesto . Pri branju takšnih avtorjev je pomembno, da se natančno razume, na koga se nanašajo.
Povezane komponente
thumb|right|200px|Svetlobni stožec v dvorazsežnem prostoru plus časovna razsežnost
Ker je Lorentzeva grupa Liejeva grupa, je tudi grupa in ima topološki opis kot gladka mnogoterost. Kot mnogoterost ima štiri povezane komponente. Intuitivno to pomeni, da je sestavljena iz štirih topološko ločenih delov.
Štiri povezane komponente se lahko razdeli na dve transformacijski lastnosti, ki ju imajo njihovi elementi:
nekateri elementi se pri Lorentzevih transformacijah, ki obračajo čas, obrnejo, na primer časovnopodobni vektor, ki kaže v prihodnost, bi se obrnil v vektor, ki kaže v preteklost. nekateri elementi imajo zaradi nepravilnih Lorentzevih transformacij obrnjeno usmerjenost, na primer določeni vierbeini (tetrade).
Lorentzeve transformacije, ki ohranjajo smer časa, se imenujejo . Podgrupa ortokronih transformacij se pogosto označuje z . Tiste, ki ohranjajo usmerjenost, se imenujejo prave in kot linearne transformacije imajo determinanto . (Neprave Lorentzeve transformacije imajo determinanto .) Podgrupa pravih Lorentzevih transformacij se označuje s .
Pogrupa vseh Lorentzevih transformacij, ki ohranja tako usmerjenost kot smer časa, se imenuje prava ortokrona Lorentzeva grupa ali omejena Lorentzeva grupa in se označuje s .
Množici štirih povezanih komponent se lahko da grupno strukturo kot kvocientno grupo , ki je izomorfna Kleinovi četverni grupi. Vsak element v se lahko zapiše kot poldirektni produkt prave ortokrone transformacije in elementa diskretne grupe:
kjer sta in operatorja parnosti in obračanja časa:
Tako se lahko poljubno Lorentzevo transformacijo določi kot pravo ortokrono Lorentzevo transformacijo skupaj z dodatnima dvema bitoma informacije, ki izbereta eno od štirih povezanih komponent. Ta vzorec je značilen za končnorazsežne Liejeve grupe.
Omejena Lorentzeva grupa
Omejena Lorentzeva grupa je identična komponenta Lorentzeve grupe, kar pomeni, da jo sestavljajo vse Lorentzeve transformacije, ki jih je mogoče povezati z enotno komponento z zvezno krivuljo, ki leži v grupi. Omejena Lorentzeva grupa je povezana normalna podgrupa polne Lorentzeve grupe z isto razsežnostjo, v tem primeru z razsežnostjo šest.
Omejena Lorentzeva grupa je generirana z navadnimi prostorskimi vrtenji in Lorentzevimi potiski (vrtenji v hiperboličnem prostoru, ki vključuje časovnopodobno smer). Ker se lahko vsako pravo ortokrono Lorentzevo transformacijo zapiše kot produkt vrtenja (določenega s 3 realnimi parametri) in potiska (prav tako določenega s 3 realnimi parametri), je potrebnih 6 realnih parametrov za določitev poljubne prave ortokrone Lorentzeve transformacije. To je eden od načinov za razumevanje, zakaj je omejena Lorentzeva grupa šestrazsežna. (Glej tudi Liejeva algebra Lorentzeve grupe.)
Množica vseh vrtenj tvori Liejevo podgrupo, ki je izomorfna navadni rotacijski grupi . Množica vseh potiskov pa ne tvori podgrupe, saj sestavljanje dveh potiskov na splošno ne povzroči še enega potiska. (Namesto tega je par nekolinearnih potiskov enakovreden potisku in vrtenju, kar se nanaša na Thomasovo vrtenje.) Potisk v neki smeri ali vrtenje okrog neke osi generira enoparametrično podgrupo.
Površine tranzitivnosti
Če grupa deluje na prostor , potem je površina površina tranzitivnosti, če je invariantna pod (to je ) in za dve točki obstaja takšen , da velja . Po definiciji Lorentzeva grupa ohranja kvadratno formo:
Površine tranzitivnosti ortokrone Lorentzeve grupe , , ki delujejo na ravnem prostoru-času , so naslednje: , je zgornja veja hiperboloida z dvema listoma. Točke na tem listu so od izhodišča ločene s časovnopodobnim vektorjem v prihodosti. , je spodnja veja hiperboloida. Točke na tem listu so časovnopodobni vektorji v preteklosti. , je zgornja veja svetlobnega stožca v prihodnosti. , je spodnja veja svetlobnega stožca v preteklosti. je hiperboloid z enim listom. Točke na tem listu so prostorupodobne, ločene od izhodišča. izhodišče * .
Te površine so trirazsežne, zato slike niso zveste, so pa zveste za ustrezna dejstva o . Za celotno Lorentzevo grupo so površine tranzitivnosti le štiri, saj transformacija prevede zgornjo vejo hiperboloida (stožca) v spodnjo in obratno.
Kot simetrični prostori
Enakovreden način za formuliranje zgornjih površin tranzitivnosti je kot simetrični prostor v smislu Liejeve teorije. Na primer, zgornji list hiperboloida se lahko zapiše kot kvocientni prostor zaradi izreka o stabilizatorju orbite. Poleg tega ta zgornji list ponuja tudi model za trirazsežni hiperbolični prostor.
Reprezentacije Lorentzeve grupe
Ta opažanja predstavljajo dobro izhodišče za iskanje vseh neskončnorazsežnih unitarnih reprezentacij Lorentzeve grupe, pravzaprav Poincaréjeve grupe, z uporabo metode induciranih reprezentacij. Začne se s »standardnim vektorjem«, enim za vsako površino tranzitivnosti, nato pa se vpraša, katera podgrupa ohranja te vektorje. Fiziki te podskupine imenujejo male grupe. Problem se nato v bistvu zreducira na lažji problem iskanja reprezentacij malih grup. Na primer, standardni vektor v eni od hiperbol dveh listov bi se lahko ustrezno izbral kot . Za vsak vektor prebode natanko en list. V tem primeru je mala grupa , rotacijska grupa, katere vse reprezentacije so znane. Natančna neskončnorazsežna reprezentacija, pod katero se delec transformira, je del njene klasifikacije. Vse reprezentacije ne morejo ustrezati fizičnim delcem (kolikor je znano). Standardni vektorji na enolistnih hiperbolah bi ustrezali tahionom. Delci na svetlobnem stožcu so fotoni in bolj domnevno gravitoni. »Delec«, ki ustreza izhodišču, je vakuum.
Homomorfizmi in izomorfizmi
Več drugih grup je bodisi homomorfnih bodisi izomorfnih omejeni Lorentzevi grupi . Ti homomorfizmi igrajo ključno vlogo pri razlagi različnih pojavov v fiziki. specialna linearna grupa je dvojni krov omejene Lorentzeve grupe. Ta odnos se pogosto uporablja za izražanje Lorentzeve invariantnosti Diracove enačbe in kovariance spinorjev. Z drugimi besedami, (omejena) Lorentzeva grupa je izomorfna simplektična grupa je izomorfna . Uporablja se za konstrukcijo Weylovih spinorjev, kakor tudi za razlago kako imajo spinorji maso. spinska grupa je izomorfna . Uporablja se za razlago spina in spinorjev v smislu Cliffordove algebre, s čimer je jasno, kako posplošiti Lorentzevo grupo na splošne postavke v Riemannovi geometriji, vključno s teorijami supergravitacije in teorijo strun. omejena Lorentzeva grupa je izomorfna projektivni specialni linearni grupi , ki je naprej izomorfna Möbiusovi grupi, simetrijski grupi konformne geometrije na Riemannovi sferi. Ta odnos je osrednjega pomena za klasifikacijo podgrup Lorentzeve grupe v skladu s prejšnjo klasifikacijsko shemo, razvito za Möbiusovo grupo.
Weylova reprezentacija
Weylova reprezentacija ali spinorska preslikava je par surjektivnih homomorfizmov iz v . Pri transformacijah parnosti tvorita ujemajoč se par, ki ustreza levim in desnim kiralnim spinorjem.
Delovanje na prostor-čas Minkowskega se lahko definira tako, da se točko prostora-časa zapiše kot dvakrat dva hermitsko matriko v obliki:
v smislu Paulijevih matrik.
Ta reprezentacija, Weylova reprezentacija, zadošča izrazu: