thumb|Ta Togliattijeva ploskev je vozliščna algebrska ploskev pete stopnje. Slika prikazuje del njenega realnega geometrijskega mesta točk.
Algébrska geometríja je veja matematike, ki klasično raziskuje ničle polinomov z več spremeljivkami. Moderna algebrska geometrija temelji na rabi tehnik abstraktne algebre, največ iz komutativne algebre, za reševanje geometrijskih problemov o teh množicah ničel.
Temeljni predmeti proučevanja algebrske geometrije so algebrske varietete, ki so geometrijske manifestacije rešitev sistemov polinomskih enačb. Zgledi najbolj raziskanih razredov algebrskih varietet so: ravninske algebrske krivulje, ki vključujejo premice, stožnice (krožnice, parabole, elipse, hiperbole), kubične krivulje, kot na primer eliptične krivulje, in kvartične krivulje, kot so Bernoullijeve lemniskate in Cassinijevi ovali. Točka na ravnini pripada algebrski krivulji, če njene koordinate zadoščajo dani polinomski enačbi. Osnovna vprašanja vključujejo raziskovanje točk posebnega pomena, kot so singularne točke, prevojne točke in točke v neskončnosti. Naprednejša vprašanja vključujejo topologijo krivulje in razmerja med krivuljami, podanimi z različnimi enačbami.
Algebrska geometrija zavzema osrednje mesto v moderni matematiki in ima številne konceptualne povezave s tako različnimi področji, kot so kompleksna analiza, topologija in teorija števil. Sprva kot študij sistemov polinomskih enačb več spremenljivk, se predmet algebrske geometrije začne tam, kjer se konča reševanje enačb, in postane še pomembnejši kot razumevanje vrojenih značilnosti celote rešitev sistema enačb kot najti specifično rešitev – to vodi v nekatera najgloblja področja v vsej matematiki, tako konceptualno kot v smislu tehnike.
V 20. stoletju se je algebrska geometrija razcepila na več podpodročij: glavni tok algebrske geometrije je posvečen študiju kompleksnih točk algebrskih varietet in na splošno točkam s koordinatami v algebrsko zaprtem polju. realna algebrska geometrija je raziskovanje realnih točk algebrskih varietet. diofantska geometrija in splošneje aritmetična geometrija je raziskovanje točk algebrske varietete s koordinatami v poljih, ki niso algebrsko zaprti, in se pojavljajo v algebrski teoriji števil, kot so polja racionalnih števil, številska polja, končna polja, funkcijska polja in p-adična polja. velik del teorije singularnosti je posvečen singularnostim algebrskih varietet. računalniška algebrska geometrija je področje, ki se je pojavilo na stičišču algebrske geometrije in računalniške algebre z vzponom računalnikov. Sestoji se predvsem iz načrtovanja algoritmov in razvoja programske opreme za raziskovanje značilnosti eksplicitno danih algebrskih varietet.
Velik del razvoja glavnega toka algebrske geometrije v 20. stoletju se je zgodil znotraj okvira abstraktne algebre, pri čemer je bil vedno večji poudarek na »vrojenih« značilnostih algebrskih varietet, ki niso odvisne od nobenega posebnega načina vgrajevanja varietete v okoljski koordinatni prostor – to je vzporedno z razvojem topologije, diferencialne in kompleksne geometrije. Eden ključnih dosežkov te abstraktne algebrske geometrije je Grothendieckova teorija shem, ki omogoča uporabo teorije snopov za raziskovanje algebrskih varietet na način, ki je zelo podoben njeni rabi pri raziskovanju odvedljivih in analitičnih mnogoterosti. To se pridobi z razširitvijo pojma točke – v klasični algebrski geometriji se lahko točko afine varietete po Hilbertovem izreku o ničlah identificira z maksimalnim idealom koordinatnega kolobarja, medtem ko so točke ustrezne afine sheme vse praideali tega kolobarja. To pomeni, da je točka takšne sheme lahko bodisi običajna točka bodisi podvarieteta. Ta pristop omogoča tudi poenotenje jezika in orodij klasične algebrske geometrije, ki se v glavnem ukvarja s kompleksnimi točkami, in algebrske teorije števil. Wilesov dokaz dolgotrajne domneve, imenovane Fermatov veliki izrek, je zgled moči takšnega pristopa.
Osnovni pojmi
Ničle simultanih polinomov
thumb|right|Enotska krožnica thumb|right|Enotska sfera in poševna krožnica
V klasični algebrski geometriji so glavni predmeti zanimanja izginjajoče množice zbirk polinomov, kar pomeni množico vseh točk, za katere hkrati velja ena ali več polinomskih enačb. Enotska krožnica v dvorazsežnem evklidskem prostoru se lahko na primer definira kot množica vseh točk s polinomsko enačbo:
Podobno se lahko definira enotska sfera – dvorazsežna sfera s polmerom 1 v trirazsežnem evklidskem prostoru kot množica vseh točk s polinomsko enačbo:
»Poševna« krožnica v se lahko definira kot množica vseh točk , za ketere veljata polinomski enačbi:
Afine varietete
Najprej se obravnava polje (komutativni obseg) . V klasični algebrski geometriji je bilo to polje vedno polje kompleksnih števil , vendar je veliko istih rezultatov resničnih, če se predpostavi le, da je algebrsko zaprt. Upošteva se afini prostor razsežnosti nad , označen z (ali preprosteje , ko je pomen jasen iz konteksta). Ko se določi koordinatni sistem, se lahko identificira s . Namen nedelovanja s je poudariti, da se »pozablja« struktura vektorskega prostora, ki jo nosi .
Funkcija je polinomska (ali regularna), če se jo lahko zapiše kot polinom, to je, če obstaja polinom v , tako da velja ) za vsako točko s koordinatami ) v . Značilnost funkcije, da je polinomska (ali regularna), ni odvisna od izbire koordinatnega sistema v .
Ko je koordinatni sistem izbran, se lahko regularne funkcije na afinem n-prostoru identificira s kolobarjem polinomskih funkcij spremenljivk nad . Zato je množica regularnih funkcij na kolobar, ki se ga označi s .
Polinom izgine v točki, če njegovo vrednotenje v tej točki da nič. Naj bo množica polinomov v . Izginjajoča množica (ali izginjajoče geometrijsko mesto točk ali ničelna množica) je množica vseh točk v , kjer vsak polinom iz izgine. Ali simbolično:
Podmnožica , ki je , za neko množico , se imenuje algebrska množica. pomeni varieteto (posebno vrsto algebrske množice, ki bo definirana spodaj).
Ali se lahko glede na dano podmnožico množice obnovi množico polinomov, ki jo generirajo? Če je poljubna podmnožica , se definira kot množico vseh polinomov, katerih izginjajoča množica vsebuje . pomeni ideal – če dva polinoma in oba izgineta na , potem izgine na , in če je poljubni polinom, potem izgine na , tako da je vedno ideal polinomskega kolobarja .
Postavita se lahko dve naravni vprašanji: kdaj za dano podmožico množice velja ? kdaj za dano množico polinomov velja ?
Odgovor na prvo vprašanje daje uvedba topologije Zariskega, topologije na , katere zaprte množice so algebrske množice in ki neposredno odraža algebrsko strukturo . Potem je , če in samo če je algebrska množica ali enakovredno zaprta množica po Zariskem. Odgovor na drugo vprašanje daje Hilbertov izrek o ničlah. V eni od svojih oblik pravi, da je radikal ideala, ki ga generira . V bolj abstraktnem jeziku obstaja Galoisova povezava, ki povzroči dva operatorja zaprtja – mogoče ju je identificirati in imata seveda osnovno vlogo v teoriji. Zgled je razdelan pri Galoisovi povezavi.
Zaradi različnih razlogov se morda ne želi vedno delati s celotnim idealom, ki ustreza algebrski množici . Hilbertov izrek o bazi implicira, da so ideali v vedno končno generirani.
Algebrska množica se imenuje ireducibilna, če je ni mogoče zapisati kot unijo dveh manjših algebrskih množic. Vsaka algebrska množica je končna unija ireducibilnih algebrskih množic in ta dekompozicija je edinstvena. Zato se njeni elementi imenujejo ireducibilne komponente algebrske množice. Ireducibilna algebrska množica se imenuje tudi varieteta. Izkaže se, da je algebrska množica varieteta, če in samo če se jo lahko definira kot izginjajočo množico praideala polinomskega kolobarja.
Nekateri avtorji ne razlikujejo jasno med algebrskimi množicami in varietetami in za razlikovanje uporabljajo ireducibilno varieteto, kadar je to potrebno.
Regularne funkcije
Tako kot so zvezne funkcije naravne preslikave na topoloških prostorih in gladke funkcije naravne preslikave na odvedljivih mnogoterostih, obstaja naravni razred funkcij na algebrski množici, ki se imenuje regularne funkcije ali polinomske funkcije. Regularna funkcija na algebrski množici , ki jo vsebuje , je omejitev na regularne funkcije na . Za algebrsko množico, definirano na polju kompleksnih števil, so regularne funkcije gladke in celo analitične.
Morda se zdi nenaravno omejujoče zahtevati, da se regularna funkcija vedno razširi na okoljski prostor, vendar je zelo podobno stanju v normalnem topološkem prostoru, kjer Tietzejev razširitveni izrek zagotavlja, da se zvezna funkcija na zaprti podmnožici vedno razširi na okoljski topološki prostor.
Tako kot regularne funkcije na afinem prostoru tudi regularne funkcije na tvorijo kolobar, ki se ga označi s . Ta kolobar se imenuje koordinatni kolobar .
Ker regularne funkcije na izvirajo iz regularnih funkcij na , obstaja razmerje med koordinatnimi kolobarji. Še posebej, če je regularna funkcija na omejitev dveh funkcij in v , potem je polinomska funkcija, ki je enaka nič na in tako pripada . Tako se lahko identificira s .
Morfizem afinih varietet
Z uporabo regularnih funkcij iz afine varietete v se lahko definira regularne preslikave iz ene afine varietete v drugo. Najprej se definira regularno preslikavo iz varietete v afini prostor. Naj bo varieteta, ki jo vsebuje . Izbere se regularnih funkcij na in se jih poimenuje . Regularna preslikava iz v se definira tako, da velja . Ali z drugimi besedami, vsaka določa eno koordinato območja .
Če je varieteta, ki jo vsebuje , je regularna preslikava iz v , če vsebuje območje .
Definicija regularnih preslikav velja tudi za algebrske množice. Regularne preslikave se imenujejo tudi morfizmi, saj tvorijo zbirko vseh afinih algebrskih množic v kategorijo, kjer so objekti afine algebrske množice, morfizmi pa so regularne preslikave. Afine varietete so podkategorija kategorije algebrskih množic.
Glede na dano regularno preslikavo iz v in regularno funkcijo od velja . Preslikava je homomorfizem kolobarjev iz v . Nasprotno pa vsak homomorfizem kolobarjev iz v definira regularno preslikavo iz v . To definira ekvivalenco kategorij med kategorijo algebrskih množic in nasprotno kategorijo končno generiranih reduciranih k-algeber. Ta ekvivalenca je eno od izhodišč teorije shem.
Racionalna funkcija in biracionalna ekvivalenca
V nasprotju s prejšnjimi razdelki se ta razdelek nanaša le na varietete in ne na algebrske množice. Po drugi strani pa se definicije naravno razširijo na projektivne varietete (naslednji razdelek), saj imata afina varieteta in njena projektivna zapolnitev isto polje funkcij.
Če je afina varieteta, je njen koordinatni kolobar celostna domena in ima torej polje ulomkov, ki se ga označi s in se imenuje polje racionalnih funkcij na ali, na kratko, funkcijsko polje . Njegovi elementi so omejitve na racionalnih funkcij nad afinim prostorom, ki vsebuje . Domena racionalne funkcije ni , ampak komplement podvarietete (hiperploskve), kjer imenovalec izgine.
Kot pri regularnih preslikavah se lahko definira racionalno preslikavo iz varietete v varieteto . Kot pri regularnih preslikavah se lahko racionalne preslikave iz v identificira s homomorfizmi polj iz v .
Dve afini varieteti sta biracionalno ekvivalentni, če sta med njimi dve racionalni funkciji, ki sta inverzni druga drugi v območjih, kjer sta obe definirani. Enakovredno sta biracionalno ekvivalentni, če sta njuni funkcijski polji izomorfni.
Afina varieteta je racionalna varieteta, če je biracionalno ekvivalentna afinemu prostoru. To pomeni, da varieteta dopušča racionalno parametrizacijo, to je parametrizacijo z racionalnimi funkcijami. Na primer krožnica enačbe je racionalna krivulja, saj ima parametrično enačbo:
na katero se lahko gleda kot na racionalno preslikavo iz premice na krožnico.