Powiemy, że funkcja jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie Funkcja różniczkowalna indukuje odwzorowanie z w przestrzeń przekształceń liniowych z w dane wzorem
które nazywamy pochodną funkcji albo różniczką funkcji
Własności Różniczka jest operatorem liniowym:
Zachodzi reguła łańcuchowa:
o ile złożenia mają sens.
Jeżeli jest różniczkowalne w punkcie to
gdzie po prawej stronie stoi pochodna kierunkowa.
Macierz pochodnej
Różniczka jest (z definicji) przekształceniem liniowym, a zatem jest sens rozważać jej macierz. Jeżeli gdzie to złożenia rzutowań z funkcją to macierz różniczki jest postaci
Jeżeli jest różniczkowalna w punkcie to macierz jej różniczki w bazie standardowej jest postaci
Jeżeli jest różniczkowalne w punkcie to macierz jej różniczki w bazach standardowych i jest postaci
Reguła łańcuchowa przenosi się na macierz różniczki:
Przykłady (1) Rozważmy funkcję daną wzorem
Jej różniczka ma w bazach standardowych macierz
i jest dana wzorem
(2) Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie to jej różniczka w tym punkcie jest dana wzorem
(3) Przykładowo różniczka funkcji danej wzorem
jest dana wzorem
i w punkcie na wektorze wynosi
(4) Niech oznaczają rzutowania na -tą współrzędną względem bazy standardowej tzn.