Na podstawie twierdzenia VI.2 wiemy, że proste przechodzące przez krańce odcinków oraz są równoległe. Konstrukcja ułamka wymaga poprowadzenia prostej równoległej, przechodzącej przez ale ponieważ obie proste są równoległe, to oba ułamki wyznaczają ten sam punkt. Zatem: . q.e.d.
iloraz ⇒ proporcja. Dowód. Niech . Wtedy wszystkie odcinki łączące punkty (na rysunku powyżej) są równoległe. Stąd, na podstawie twierdzenia VI.2. otrzymujemy: . q.e.d.
Proporcja jako iloczyn thumb|center W podobny sposób można uzasadnić równoważność proporcji z odpowiednim iloczynem odcinków. W tym celu wystarczy zauważyć, że: .
Potęgowanie thumb|center Kolejne potęgi odcinka można tworzyć na podstawie definicji mnożenia dwóch odcinków, przyjmując że oba są równe . Innym sposobem konstrukcji kolejnych potęg jest użycie do tego celu mezolabium.
Pierwiastkowanie thumb|center
Można przyjąć następujące definicje pierwiastkowania:
itp.
Pierwiastek kwadratowy można skonstruować sposobem ukazanym na pierwszym rysunku lub poprzez mezolabium. Dzięki mezolabium można skonstruować także oraz pierwiastki wyższych stopni.
Ciało odcinków Arytmetykę odcinków Kartezjusza można opisać strukturą ciała uporządkowanego.