Współczesne wyjaśnienie arytmetyki odcinków Kartezjusza W arytmetyce odcinków zdefiniowanej w Geometrii występuje kilka nieścisłości. Nie wiadomo, czy następujące związki arytmetyki z teorią proporcji: z proporcji Kartezjusz wnioskuje: „wówczas jest iloczynem oraz ”; z proporcji Kartezjusz wnioskuje: „ jest wynikiem dzielenia przez ” z proporcji Kartezjusz wnioskuje, że średnia proporcjonalna jest pierwiastkiem z
są dla Kartezjusza definicjami, czy twierdzeniami.
Przyjmując, że te równości są definicjami, można współcześnie jasnym językiem przedstawić konstrukcje oparte na arytmetyce odcinków. W poniższych sekcjach stosowane zapisy matematyczne są częściowo uwspółcześnione, dla łatwiejszego zrozumienia przedstawianych konstrukcji i dowodów rozumowań. W dowodach będziemy stosować definicje arytmetyki odcinków oraz własności proporcji z Elementów Euklidesa.
Mnożenie
Iloczyn odcinków oraz konstruujemy w sposób następujący. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta (jak na rysunku powyżej).