W teorii grup oznacza to, że jest to generator grupy – element, który poprzez kolejne potęgowanie generuje wszystkie elementy danej grupy.
Jeśli grupa multiplikatywna modulo n jest cykliczna, to istnieją w niej pierwiastki pierwotne. Potęgując taki element, otrzymuje się kolejno wszystkie elementy grupy.
Przykłady: dla , grupa ma dwa pierwiastki pierwotne: oraz ; dla , pierwiastkami pierwotnymi są oraz ; dla pierwiastki pierwotne nie istnieją – grupa nie jest cykliczna.
Jeśli grupa multiplikatywna modulo n posiada pierwiastki pierwotne, to ich liczba jest równa , gdzie oznacza funkcję Eulera (tocjent).
Wysoki rząd
W odniesieniu do grup multiplikatywnych, zwłaszcza tych o dużym porządku (na przykład rzędu , jak w przypadku generatora liczb pseudolosowych Lehmera), stosuje się pojęcie wysokiego rzędu elementu, nawet jeśli rozpatrywany element nie jest pierwiastkiem pierwotnym.
Określenie „wysoki rząd” nie posiada ścisłej definicji – jest to termin używany intuicyjnie lub opisowo. Oznacza sytuację, w której rząd elementu jest stosunkowo duży w porównaniu z maksymalnym możliwym rzędem w danej grupie.
Przykład: w grupie multiplikatywnej modulo 81 (tj. ), maksymalny rząd elementów (równa się on rzędowi grupy) wynosi 54.