W tym artykule jednak przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).
Gdy jest pierścieniem przemiennym, to warunki i są równoważne – wówczas mówi się po prostu o module nad Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się bimodułem.
Podmoduły i homomorfizmy
Niech będzie lewostronnym -modułem, a podgrupą w Wtedy jest podmodułem (lub dokładniej: -podmodułem), jeżeli
dla wszystkich oraz
Zbiór podmodułów danego modułu wraz z dwoma działaniami dwuargumentowymi: dodawaniem kompleksowym oraz przekrojem zbiorów jest kratą spełniające następujące prawo modularności: dla danych podmodułów modułu takich, że zachodzi równość podmodułów:
Niech i będą lewostronnymi -modułami. Przekształcenie jest homomorfizmem -modułów, jeżeli dla dowolnych oraz zachodzi
Tak jak jakikolwiek inny homomorfizm struktury algebraicznej, przekształcenie to zachowuje strukturę obiektów. Bijektywny homomorfizm modułów jest ich izomorfizmem, które nazywane są przy tym przekształceniu izomorficznymi. Dwa izomorficzne moduły są uważane za identyczne we wszystkich zastosowaniach różniąc się jedynie sposobem zapisu elementów.