... itd. W ogólności możemy utworzyć formłę indykcyjną (bazującą na poprzednich zbiorach) która dla dowolnej liczby na bazie zbioru (opisującego dodawanie liczby b do każdej liczby naturalnej) utworzy zbiór (opisujący dodawanie dla każdej liczby naturalnej):
W ten sposób zbiory opisują wynik dodawania każdej pary liczb naturalnych, przenoszac wszystkie elementy tych zbiory do jednego zbioru, otrzymamy ostateczny wykres dodawania wszystkich liczb naturalnych, a pełną definicję formalną funkcji możemy wówczas zapisać tak
Działanie dodawania można krok po kroku definiować dla każdego rodzaju liczb: dodawanie dwóch liczb całkowitych i gdzie określone jest wzorem
dodawanie dwóch liczb wymiernych określone jest wzorem (w ogólności wzór ten jest definicją dodawania w dowolnym ciele ułamków); dodawanie dwóch liczb rzeczywistych jest określone następująco: jeżeli jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych zbieżnym do a jest zbieżnym do to ciąg jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do dodawanie dwóch liczb rzeczywistych i określa się następująco: W zbiorze ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych wprowadza się relację równoważności: gdy ciąg jest zbieżny do zera. Niech będą ciągami Cauchy’ego liczb wymiernych, wówczas ciąg także jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych.