W pierwszym przypadku dodawanie liczb naturalnych to nic innego jak dodawanie liczb kardynalnych, a w drugim dodawanie definiuje się indukcyjnie:
gdzie jest następnikiem liczby
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left" !Szczegółowy przykład indukcyjnej definicji dodawania
Będziemy chcieli zdefiniowac dodawanie jako funkcję taką że . Formalnie taka funkcja ma postać następującej trójki: , gdzie to wykres tej funkcji. Punktem z wykresu tej funkcji jest para która zawiera informację o składnikach i wyniku . Niemniej taki zapis jest niepoprawny gdyż definicja wewnątrz odwołuje się do samej siebie (użyto czyli znaku po lewej i prawej stronie równości).
Skonstruujumy zatem wykres tej funkcji inaczej. Najpierw skonstuujmy wykres dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodajemy zero (czyli nic się nie zmienia więc nie musimy używać znaku w jego definiji):
Następnie, korzystając z definicji von Neumanna liczb naturalnych, gdzie możemy użyć następnika zdefiniowanego jako oraz , możemy na bazie zdefiniować wykres dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodano 1, ale musimy zamiast działania (które właśnie definiujemy) użyć następnika S:
podobnie możemy zrobić dla , oraz itd.