W tym przypadku szukamy takiej krzywej żeby czas był minimalny:
gdzie: – prędkość ciała, której zależność od wynika z zasady zachowania energii, – różniczka drogi.
Podstawiając, otrzymujemy:
gdzie:
Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej spełniającej równanie Eulera-Lagrange’a:
Rozwiązując to równanie, otrzymujemy brachistochronę:
gdzie to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.
Krzywa łańcuchowa
Równanie Eulera-Lagrange’a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchowąhttp://math.arizona.edu/~flaschka/Topmatter/527files/termpapers/smallwood.pdf., która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym Układ mechaniczny jest w równowadze, gdy jego energia potencjalna jest minimalna.