Przykład: Maszyna Atwooda thumb|Maszyna Atwooda. i to odległości ciał o masach odpowiednio i od poziomu osi krążka. Do opisu układu potrzebne są dwie współrzędne stanu ( i ). Mamy układ dwóch mas w stałym polu grawitacyjnym przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa. Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.
Mamy:
czyli lagrangian ma postać:
A ponieważ linka jest nierozciągliwa gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:
Składowe równania Eulera-Lagrange’a:
Z równania Eulera-Lagrange’a:
Rozwiązując względem otrzymujemy stałe przyspieszenie:
Całkując powyższe równanie dwukrotnie, otrzymamy:
gdzie i to prędkość i położenie masy w chwili
Trajektorię drugiego ciała łatwo teraz wyznaczyć:
Brachistochrona
Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange’a.