Energia potencjalna wynosi:
gdzie: – gęstość liniowa linki, – różniczka długości krzywej.
Podstawiając, otrzymujemy:
gdzie:
Aby energia potencjalna była minimalna, musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a:
Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać krzywej łańcuchowej:
gdzie jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.
Dowód Niech będzie ciągłą funkcją parametru o zadanych warunkach początkowych i końcowych: i
Mamy daną funkcję i szukamy takich żeby było stacjonarne. Załóżmy, że jest takim rozwiązaniem.
Wprowadźmy do rozważań parametr niezależny od czasu oraz funkcję ciągłą taką, że oraz Jeżeli przyjmiemy, że to zagadnienie sprowadzi się do analizy funkcji jednej zmiennej
Gdy jest stacjonarne, to
– twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki).
Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, otrzymujemy:
Całkując drugi człon przez części, mamy:
Ponieważ dla każdego więc Podobnie Wobec tego i stąd
Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla dowolnej funkcji więc otrzymamy równanie
stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału
Uogólnienia dla kilku funkcji, kilku zmiennych, wyższych pochodnych Pojedyncza funkcja jednej zmiennej z wyższymi pochodnymi Wartość stacjonarna funkcjonału
można otrzymać z równań Eulera-Lagrange’a postaci