Wybór metryki a opis ruchu ciał Jeżeli chce się opisać rzeczywisty ruch ciał, to równania ruchu muszą uwzględniać faktyczną postać tensora metrycznego czasoprzestrzeni. Dlatego np. ogólna teoria względności formułuje równania ruchu ciał zakładając, że ciała poruszają się po liniach geodezyjnych, wyznaczonych przez przeniesienie równoległe właściwe dla metryki, która zależy m.in. od rozkładu materii i energii w przestrzeni (por. równania Einsteina).
Definicja formalna przeniesienia Dokładniej proces transportu można opisać, odwołując się do krzywizny geodezyjnej, która mierzy, jak bardzo krzywa odchyla się od geodezyjnej. Mianowicie, pole wektorowe krzywej o jednostkowej prędkości, z krzywizną geodezyjną jest równoległe wzdłuż krzywej jeżeli
pole to ma stałą długość kąt jaki pole tworzy z wektorem prędkości spełnia warunek
Niech będzie pochodną kowariantną na rozmaitości zaś krzywą gładką. Pole wektorowe wzdłuż krzywej nazywamy równoległym, gdy znika pochodna kowariantna