Ogólna Teoria Względności zakłada, że ciała poruszają się po geodezyjnych czasoprzestrzeni, przy czym jej zakrzywienie jest przejawem grawitacji.
Przykład: Czasoprzestrzeń płaska Czasoprzestrzeń płaska – to przestrzeń Minkowskiego mająca diagonalny tensor metryczny
Ogólne równanie linii geodezyjnej redukuje się tu do postaci
co oznacza, że przyspieszenie ciała jest zerowe. Rozwiązanie tego równania przedstawia prostą euklidesową. Wynika stąd, że w płaskiej przestrzeni ciała, na które nie działają żadne siły, poruszają się po prostej euklidesowej.
Przykład: Sfera – obliczenia tensora metrycznego Na -wymiarowej sferze o równaniu (gdzie oznaczają współrzędne kartezjańskie), wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne tak że zachodzą związki:
Element długości wyraża się przez różniczki:
Obliczając różniczki otrzymamy (przy tym przy obliczeniach zakładamy, że współrzędna jest wielkością stałą, równą promieniowi sfery):
Dokonując podstawienia tych różniczek do wzoru na otrzyma się:
Porównując powyższy wynik z postacią różniczki odległości we współrzędnych krzywoliniowych
gdzie – współczynniki tensora metrycznego otrzyma się czyli tensor metryczny zapisany w postaci tablicy ma postać: