równania:

opisują ruch wzdłuż prostej w czasoprzestrzeni z prędkością

Geodezyjne w czasoprzestrzeni Równanie geodezyjnej Linie geodezyjne łączące dwa punkty czasoprzestrzeni oraz w czasoprzestrzeni spełniają 4 równania różniczkowe:

gdzie: – symbole Christoffela:

Wyprowadzenie równania Równanie geodezyjnej można wyprowadzić kilkoma sposobami, np. z warunku, by krzywa nadawała wartość ekstremalną funkcjonałowi

tzn. żąda się, by spośród wszystkich krzywych, łączących dane punkty czasoprzestrzeni długość krzywej była ekstremalna (co dla punktów odpowiednio blisko leżących oznacza minimum).

Powyższy układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie dla danego punktu startowego oraz prędkości początkowej w tym punkcie.

Ruch po geodezyjnych jako ruch swobodny z czasoprzestrzeni Z punktu widzenia mechaniki geodezyjne można traktować jako krzywe, po których poruszają się ciała w rozmaitości, nie poddane działaniu sił. Równanie geodezyjnej oznacza bowiem, że wektor przyspieszenia krzywej nie ma składowych w kierunkach stycznych do powierzchni – i dlatego wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w każdym punkcie krzywej. Dlatego ruch jest całkowicie określony przez zakrzywienie powierzchni.