gdzie oznacza funkcję Cantora. jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału Dystrybuanta nie może mieć zatem gęstości ponieważ prawie wszędzie.
Funkcja charakterystyczna
Jeżeli jest dystrybuantą, to funkcję określoną wzorem
nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty
Tw. Jeżeli jest funkcją charakterystyczną pewnej dystrybuanty, to: jest ona funkcją jednostajnie ciągłą,
dla dla
Tw. (wzór na odwrócenie) Jeżeli jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty a są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to
Dowód przeprowadza się z wykorzystaniem twierdzenia Fubiniego.
Tw. Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe.
Tw. Jeżeli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy
Powyższe twierdzenie mówi o gładkości dystrybuanty.
Zbieżność a ciągłość Słaba zbieżność Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego będącego punktem ciągłości dystrybuanty
W powyższej definicji istotne jest założenie „do dystrybuanty”.