Tw. Każda zmienna losowa (lub wektor losowy) wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (wektora losowego).
Gęstość
Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję nazywamy gęstością dystrybuanty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego spełniona jest równość:
Własności Jeżeli jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z po całej prostej wynosi Jeżeli i są gęstościami tej samej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie (poza przeliczalną liczbą punktów). Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą. Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna. Jeśli dystrybuanta ma gęstość, to dla
gdzie - pochodna dystrybuanty w punkcie .
Zastosowanie gęstości Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: jeśli jest dystrybuantą rozkładu to często zachodzi konieczność całkowania względem miary Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli jest gęstością dystrybuanty to
dla każdego zbioru borelowskiego i dla każdej funkcji borelowskiej przyjmującej wartości w dla pewnej liczby naturalnej
Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości Istnieją ciągłe dystrybuanty niemające gęstości. Klasycznym przykładem jest: