Trzecie podejście, zapoczątkowane przez Williama H. Younga i wznowione przez Percy’ego Daniella, polega na konstrukcji teorii całki Lebesgue’a bez uciekania się do ogólnej teorii miary, mianowicie przez operowanie funkcjonałami określonymi dla odpowiednich rodzin funkcji (funkcji półciągłych), a następnie uzyskanie konstrukcji miary niejako przy okazji konstrukcji całki.
Przykład: Miara Lebesgue’a zbioru Cantora mały|299x299px|Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6|tło Rozważmy zbiór Cantora . Zbiór ten otrzymujemy z przedziału poprzez usunięcie otwartej środkowej 1/3 tego odcinka i tak w nieskończoność, tj. w każdym kolejny kroku usuwamy z aktualnie istniejących odcinków ich otwarte środkowe części o długości 1/3. Na początku mamy: a jego miara Lebesgue'a wynosi
W pierwszym kroku usuwamy przedział otwarty , otrzymując:
W drugim kroku usuwamy środkowe części obu pozostałych przedziałów. Łączna długość usuniętych przedziałów wynosi , zatem:
Ogólnie, po -tym kroku pozostaje przedziałów, z których każdy ma długość . Stąd:
Zbiór Cantora jest częścią wspólną wszystkich zbiorów , , więc jego miara wynosi
Zbiory są zstępującymi zbiorami mierzalnym oraz .