Korzystając z twierdzenia o ciągłości miary z góry otrzymujemy:
Miara Lebesgue’a zbioru Cantora jest więc równa zero, pomimo że zbiór ten ma moc continuum czyli zawiera nieprzeliczalnie wiele punktów (por. Własności zbioru Cantora).
Własności cz. I Miara Lebesgue’a to miara, która jest: zupełna, wewnętrznie regularna, niezmiennicza na przesunięcia (tzn. miara dowolnego podzbioru przesuniętego o ustalony wektor w przestrzeni jest taka sama jak miara zbioru, który jest przesuwany), borelowska (określona na σ-ciele zawierającym wszystkie otwarte podzbiory przestrzeni), przypisuje miarę jednostkową (równą jeden 1) jednostkowej kostce wielowymiarowej, a w konsekwencji jest odpowiednia do wyznaczania wielkości geometrycznych zbiorów.
Własności cz.