kres dolny tych przybliżeń jest miarą zewnętrzną mierzonej figury (i wynosi tu 9,42).
Def. Zbiór nazywamy mierzalnym w sensie Lebesgue’a w przestrzeni , jeżeli jest on mierzalny w sensie Carathéodory’ego względem miary tzn. dla każdego zbioru spełniony jest warunek Carathéodory’ego:
Def. Miarą Lebesgue’a w przestrzeni nazywamy miarę zewnętrzną w przestrzeni , której dziedzina jest ograniczona do rodziny zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego, co formalnie zapisujemy
przy czym dowodzi się, że rodzina zbiorów tworzy -ciało przestrzeni .
Tw. Miara Lebesgue’a jest miarą zupełną na (tj. każdy podzbiór zbioru miary Lebesgue’a zero jest mierzalny i miary zero). Rodzina wszystkich zbiorów o mierze Lebesgue'a jest identyczna z rodziną wszystkich zbiorów o mierze zewnętrznej .
Dowód: Własność ta wynika bezpośrednio z twierdzenia Carathéodory’ego.
Tw. Miara Lebesgue’a zbioru ograniczonego (tj. takiego, który da się zawrzeć w -wymiarowym przedziale ograniczonym) jest liczbą skończoną. Każdy zbiór da się przedstawić w postaci sumy zbiorów ograniczonych , tj.
W szczególności Wynika stąd natychmiast:
Tw. Miara Lebesgue'a jest miarą półskończoną na .