Grupy symetrii Inną sytuację, w której występują transformacje tworzące grupę mamy w przypadku rozważania symetrii danego obiektu albo symetrii np. funkcji. Przez symetrię rozumiemy przekształcenie obiektu w samego siebie przy dokonaniu na nim przekształcenia, np. obrotu czy odbicia itp. Symetrie tworzą grupę podobnie jak transformacje układu współrzędnych.
Reprezentacje transformacji Załóżmy, że mamy daną grupę transformacji w pewnej przestrzeni.
Reprezentacją grupy transformacji nazywamy zbiór macierzy kwadratowych taki że każdej macierzy tego zbioru odpowiada jedna transformacja, a transformacji będącej wynikiem składania dwóch transformacji odpowiada macierz będąca iloczynem macierzy, z których pierwsza macierz odpowiada pierwszej transformacji, a druga macierz odpowiada drugiej transformacji.
Np. jeżeli transformacjom przypiszemy macierze oraz to
Wynika stąd, że:
1) Macierze kwadratowe odpowiadające danej transformacji tworzą grupę.
2) Reprezentacja jest homomorfizmem grupy transformacji w grupę macierzy z mnożeniem.
3) Może istnieć więcej niż jedna reprezentacja dla danej grupy transformacji (przykłady omówiono niżej).
4) Niektóre reprezentacje mogą być niejednoznaczne, tzn.