miara Lebesgue’a na rodzinie zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest uzupełnieniem miary Lebesgue’a na rodzinie zbiorów borelowskich.
(6) Tw. Miarę zupełną uzyskuje się ograniczając miarę zewnętrzną określoną na wszystkich podzbiorach zbioru do zbiorów spełniających dla każdego warunek Carathéodory’ego:
Zbiory niemierzalne Def. Zbiorami niemierzalnymi względem sigma-ciała przestrzeni mierzalnej nazywamy podzbiory zbioru które nie należą do
Zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue’a Tw. Zbiorami niemierzalnymi w sensie Lebesgue'a w przestrzenie rzeczywistej są zbiory, które nie spełnia warunku Carathéodory’ego względem miary zewnętrznej Lebesgue’a (i dlatego nie należą do -ciała zbiorów Lebesgue’a na przestrzeni rzeczywistej).
Tw. Jeżeli założy się słuszność aksjomatyki Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru, to każdy zbiór dodatniej miary Lebesgue’a zawiera podzbiór niemierzalny.
Do zbiorów tych należą: elementy paradoksalnego rozkładu kuli (paradoks Banacha-Tarskiego), zbiór Bernsteina, zbiór Łuzina, zbiór Sierpińskiego, zbiór Vitalego.
przy czym udowodnienie niemierzalności ostatnich dwóch zbiorów trzeba dodatkowo założyć hipotezę continuum.