Szereg spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli
Szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla Przyjęcie w powyższym warunku daje definicję granicy ciągu do zera; tak osłabiony warunek Cauchy’ego nie pociąga za sobą zbieżności szeregu, ale oczywiście zachodzi dla każdego ciągu zbieżnego, dlatego nazywa się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu (zob. warunek konieczny).
Przestrzenie liniowo-topologiczne
W przestrzeniach liniowo-topologicznych ciąg Cauchy’ego można zdefiniować w naturalny sposób bez uciekania się do pojęcia metryki.
Ciąg punktów przestrzeni liniowo-topologicznej nazywa się ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje taka liczba naturalna że dla jest
W przestrzeni liniowo-topologicznej spełnione są własności obowiązujące w przestrzeniach metrycznych. Jeżeli topologia przestrzeni jest wyznaczona przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego względem tej metryki.