Zbiór ciągów podstawowych jest zamknięty ze względu na sumy, różnice, iloczyny oraz ilorazy.
Kluczowe znaczenie ciągów podstawowych jest takie, że każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu podstawowego. Wynika to z faktu, że zbiór liczb wymiernych jest zbiorem gęstym w zbiorze liczb rzeczywistych
Wprowadzając w zbiorze ciągów podstawowych relację równoważności ciągi są w relacji jeśli ciąg jest zbieżny do można utożsamić ciągi podstawowe, których granicami jest ta sama liczba rzeczywista. Wówczas każda liczba rzeczywista jest pewną klasą abstrakcji w zbiorze ciągów podstawowych.
Jest to jedna z możliwych konstrukcji liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne.
Zupełność
Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny, nazywa się przestrzenią zupełną. Przestrzeń unormowaną, która jest zupełna (w sensie metryki generowanej przez normę), nazywa się przestrzenią Banacha. Przestrzeń unitarną zupełną nazywa się przestrzenią Hilberta.
W szczególności przestrzeń (z wartością bezwzględną) i przestrzeń (z metryką euklidesową) są zupełne.
Inne postacie Szeregi Ponieważ szeregi z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy’ego również dla nich.
Niech będzie przestrzenią Banacha, a ciągiem jej elementów.