W przestrzeniach euklidesowych (w szczególności w przestrzeni liczb rzeczywistych ) dodatkowo zachodzą własności: ciąg punktów jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów jest ciągiem Cauchy’ego, ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 3: Odległość i ciągi, 4. Ciągi Cauchy’ego, wazniak.mimuw.edu.pl, 9 czerwca 2024 [dostęp 2024-07-09].. Fakt ten bywa znany jako twierdzenie Cauchy’ego, przy czym termin ten ma też inne znaczenia.
Ciąg podstawowy Ciąg liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego nazywa się ciągiem podstawowym. Oczywiście każdy ciąg podstawowy jest ciągiem zbieżnym w
Ciąg podstawowy może mieć granicę wymierną np.:
może mieć granicę niewymierną, np.: gdzie oznacza część całkowitą liczby
Jest to ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych z dołu liczby π i jego granicą jest oczywiście liczba niewymierna.
Innym przykładem może być ciąg zdefiniowany rekurencyjnie:
ciąg ten jest zbieżny do niewymiernej liczby postać rekurencyjna wynika z rozwinięcia w ułamek łańcuchowy Zaletą definicji tego ciągu w porównaniu z definicją poprzedniego jest to, że tu do wyznaczenia wartości kolejnych wyrazów ciągu nie jest wymagana znajomość granicy ciągu.