wówczas dla dowolnego dwa wyrazy ciągu spełniają
Własności W dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są zdania: jeżeli ciąg jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy’ego Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych, 3. Zupełność, wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2024-07-09]. (ale niekoniecznie odwrotnie, czego przykładem jest ciąg Cauchy’ego w przestrzeni , gdyż nie posiada on granicy w tej przestrzeni), każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony, ciąg Cauchy’ego mający punkt skupienia (zawierający podciąg zbieżny do ) jest zbieżny do Niech będzie pewną kulą w przestrzeni metrycznej z warunku Cauchy’ego dla ciągu wynika istnienie dla którego dla a ponieważ jest punktem skupienia to można wybrać dla którego skąd dla .