Wybór podziału jest możliwy, bo aby zapewnić warunek (a) wystarczy dobrać (dla ) dostatecznie blisko siebie (pamiętajmy, że jest ciągła), a aby zapewnić warunek (b) wystarczy skorzystać z twierdzenia Lagrange’a. Następnie zauważmy, że
Stąd widzimy, że
Tak więc pokazaliśmy, że dla dowolnej dodatniej liczby zachodzi nierówność Stąd wnioskujemy, że co należało udowodnić. Wyprowadzenie wzoru znajduje się tutaj.
Przykłady Jeżeli funkcja określona jest w przedziale [-1,1] wzorem:
to mimo iż jest ona nieciągła w punkcie 0, funkcja
ma pochodną w punkcie 0, lecz jest ona równa 1. Oblicz pochodną funkcji
Na mocy twierdzenia podstawowego mamy natychmiast co można również sprawdzić bezpośrednio, wyliczając całkę oznaczoną. Oblicz pochodną funkcji
Zauważmy, że gdzie a a zatem z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy
Ponieważ na mocy twierdzenia podstawowego otrzymujemy
co również można sprawdzić, obliczając explicite całkę definiującą
Uogólnienia Twierdzenie podstawowe prawdziwe jest bez zmian również, gdy założymy całkowalność funkcji w sensie Lebesgue’a.