Ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie więc granica po prawej stronie równa jest wartości funkcji w punkcie Stąd
i dowód jest zakończony.
Powyższy dowód pokazuje różniczkowalność funkcji w punkcie o ile funkcja podcałkowa jest ciągła przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu Bez tego założenia nie możemy powoływać się na twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego. Dowód w pełnej ogólności może być przeprowadzony przy użyciu definicji całki Riemanna i sum Riemanna.
(2) Zauważmy najpierw, że jeśli wiemy, że funkcja jest ciągła, to możemy zastosować pierwszą część twierdzenia. Ale w ogólnym przypadku funkcja może być nieciągła w wielu punktach i nie mamy podstaw aby twierdzić, że funkcja jest wszędzie różniczkowalna. Przeprowadzimy więc dowód, odwołując się bezpośrednio do definicji całki Riemanna.
Wykażemy, że (co wystarczy, bo możemy zastąpić przez dowolny ).
Niech Ustalmy na pewien czas dodatnią liczbę Z definicji całki Riemanna widzimy, że możemy wybrać podział z punktami pośrednimi odcinka taki że dla każdego podziału rozdrabniającego mamy
Następnie wybierzmy podział rozdrabniający i taki, że oznaczając oraz
mamy (a) oraz (b) jeśli to