Według formalistów przedmiotem badań matematycznych są teorie dające się wyprowadzić w określony sposób z pewnych założonych zdań logicznych, zwanych aksjomatami. Aksjomaty są zapisywane w sformalizowanym języku danej teorii, mającym ściśle określony system znaków i reguł służących do ich przekształcaniaA. Mostowski, Matematyka a logika, Wiadomości Matematyczne t. XXV, s. 81.. Zdania teorii ujmuje się jako niezinterpretowane serie symboli. Nie postuluje się istnienia rozpatrywanych obiektów.
Intuicjoniści głoszą, że cała matematyka może być oparta na pierwotnej intuicji ciągu liczb naturalnych oraz na uznawanej za intuicyjną zasadzie indukcji. Dopuszcza się wyłącznie konstrukcyjne dowody istnienia. Według intuicjonistów aktywność matematyczna umysłu ludzkiego ma charakter twórczy – konstruuje on obiekty matematyczne, nie odkrywa. Niesprzeczność jest dla intuicjonistów warunkiem koniecznym istnienia, ale nie warunkiem wystarczającym – byt matematyczny musi oprócz tego zostać skonstruowany.