Działanie o powyższych dwóch własnościach znane jest w algebrze jako różniczkowanie. Dodatkowo zachodzą różne postaci reguły łańcuchowej, według rosnącego poziomu ogólności: Jeśli jest funkcją różniczkowalną zmiennej zaś jest funkcją różniczkowalna zmiennej to
Jeżeli i wszystkie zmienne zależą od innej zmiennej to z reguły łańcuchowej dla pochodnych cząstkowych jest
Heurystycznie reguła łańcuchowa dla wielu zmiennych może być rozumiana jako obustronne dzielenie obu stron równania przez nieskończenie małą wielkość Prawdziwe są ogólniejsze, analogiczne wyrażenia, w których zmienne pośrednie zależą od więcej niż jednej zmiennej.
Sformułowanie ogólne
Można przestawić spójne pojęcie różniczki dla funkcji między dwoma przestrzeniami euklidesowymi. Niech będą odpowiednio punktem i wektorem euklidesowym. Przyrost funkcji to
Jeśli istnieje macierz typu taka, że
gdzie wektor przy to funkcja jest z definicji różniczkowalna w punkcie Macierz nazywa się często macierzą Jacobiego, a przekształcenie liniowe, które przypisuje przyrostowi punkt jest, w tej sytuacji, nazywane różniczką funkcji w punkcie Jest to dokładnie pochodna Frécheta;