ta sama konstrukcja może być zastosowana dla dowolnej funkcji między przestrzeniami Banacha (a nawet dowolnymi przestrzeniami unormowanymi).
Innym owocnym punktem widzenia jest zdefiniowanie różniczki bezpośrednio jako rodzaju pochodnej kierunkowej,
które to podejście pojawiło się podczas definicji różniczek wyższych rzędów (jest to nieomalże definicja podana przez Cauchy’ego). Jeśli reprezentuje czas, zaś oznacza położenie, to symbolizuje prędkość, a nie przemieszczenie, za jakie było dotąd uważane. Daje to inną możliwość udoskonalenia pojęcia pochodnej: powinna być to funkcja liniowa prędkości kinematycznej. Zbiór wszystkich prędkości w danym punkcie znany jest jako przestrzeń styczna, a więc daje funkcję liniową w przestrzeń styczną: formę różniczkową. Ta interpretacja różniczki znana jako pochodna zewnętrzna, ma szerokie zastosowania w geometrii różniczkowej, ponieważ pojęcia prędkości i przestrzeni stycznej mają sens w dowolnej rozmaitości różniczkowej. Jeśli dodatkowo wartość oznacza także położenie (w przestrzeni euklidesowej), to analiza wymiarowa potwierdza, że wartością musi być prędkość. Traktowanie różniczki w ten sposób znane jest jako odwzorowanie styczne (ang.