Macierz przekształcenia w bazach oraz jest postaci
gdyż wektory bazowe przechodzą odpowiednio na wektory oraz zaś ich współrzędne w bazie mają postać
oraz
Wartość w bazie na wektorze który ma w współrzędne jest równa tzn.
Endomorfizmy
Przekształcenie liniowe skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej nazywa się endomorfizmem (liniowym), jego macierzą w bazie jest Wprost z definicji endomorfizmów wynika, że ich macierze są kwadratowe.
Jeśli są bazami zaś oraz to
gdzie jest macierzą zamiany współrzędnych z do co wynika z ogólnej równości przedstawionej w Mnożenie macierzy a składanie przekształceń. Własność ta jest podstawą następującej definicji: dowolne macierze dla których istnieje macierz odwracalna spełniająca równość,
nazywa się macierzami podobnymi. Macierze te są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy są macierzami tego samego endomorfizmu (co najwyżej w różnych bazach).