tzn. gdzie są macierzami odpowiadającymi wektorom współrzędnych jw., co oznacza, że mnożenie przez zamienia współrzędne wektora w bazie na współrzędne w bazie Stąd też macierz nazywa się macierzą zamiany współrzędnych (bądź macierzą przejścia) od do Macierz zamiany współrzędnych od do dana jest jako jej macierz odwrotna
Mnożenie macierzy a składanie przekształceń
Jeśli są przestrzeniami liniowymi odpowiednio z bazami a i są przekształceniami liniowymi, to Przyjmując oznaczenia oraz zachodzi tzn. skąd wynika teza.
Wynika stąd, że jeśli jest przekształceniem liniowym, układy są bazami układy są bazami oraz jeśli i są macierzami zamiany współrzędnych odpowiednio z do i z do to Wynika to z równości
Rząd macierzy a rząd przekształcenia
Jeśli jest przekształceniem liniowym, to dla każdej bazy przestrzeni i każdej bazy przestrzeni zachodzi
gdyż jeśli to przyporządkowanie wektorowi przestrzeni jego współrzędnych w bazie zadaje izomorfizm przy którym przechodzi na podprzestrzeń rozpiętą na kolumnach macierzy
Przykłady Niech dane będą przestrzenie liniowe oraz (nad ciałem liczb rzeczywistych) oraz przekształcenie liniowe zadane wzorem
w bazach standardowych.