– jest to równanie linii geodezyjnej w przestrzeni z metryką (od której zależą m.in. symbole Christoffela ). Przy tym, jeżeli przestrzeń jest pozbawiona źródeł pola grawitacyjnego, to symbole Christoffela są takie, że zerują tensor krzywizny i równania geodezyjnych sprowadzają się do prostych euklidesowych; jeżeli jednak przestrzeń jest zakrzywiona na skutek obecności materii, to tensor krzywizny jest niezerowy, a geodezyjne są inne niż proste euklidesowe.
Uwaga:
Wielkość jest czteroprzyśpieszeniem cząstki. Ponieważ symbole Christoffela wyrażają się przez pochodne składowych tensora metrycznego
to widać, że trajektoria cząstki określona jest przez pochodne które pełnią rolę natężeń pola grawitacyjnego, wobec tego tensor metryczny pełni rolę potencjału pola grawitacyjnego (przypomnienie: pochodna potencjału po współrzędnych daje natężenie pola).
Lokalne bazy wektorów: kowariantne i kontrawariantne link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Vector_1-form.svg|mały|257x257px|Rys. 4 Wektor v rozłożony w dwóch bazach: (1) baza e1, e2, e3 (żółta, z lewej) wektorów stycznych do krzywych współrzędnych (czarne) (2) kobaza e1, e2, e3 (niebieska, z prawej) wektorów prostopadłych do powierzchni współrzędnych (szare).