Wektory bazy i kobazy nie są do siebie równoległe, chyba że współrzędne (q1, q2, q3) są ortogonalne. Uwaga 1: Poniższe rozdziały zestawiają niektóre pojęcia stanowiące podstawę do wprowadzenia pojęcia pochodnej kowariantnej. Bardziej wyczerpujące opracowanie znajduje się w artykule współrzędne krzywoliniowe. Oznaczenia: Odtąd w artykule tensory oznacza się literami pogrubionymi.
Załóżmy, że mamy przestrzeń wektorową -wymiarową.
(1) Definiujmy dowolny układ współrzędnych – na ogół będzie to układ współrzędnych krzywoliniowych
(2) W każdym punkcie przestrzeni ustalamy lokalną bazę niezależnych liniowo wektorów, których będziemy używać do znajdowania i wyliczania składowych wektorów; wektory bazy zależą od punktu przestrzeni, przy czym wyróżnia się: bazy kowariantne – zbiory wektorów stycznych do linii współrzędnych, (z dolnymi indeksami), bazy kontrawariantne – zbiory wektorów prostopadłych do powierzchni współrzędnych, (z górnymi indeksami).
(3) W każdym punkcie przestrzeni definiujemy dwa typy współrzędnych wektorów: współrzędne kontrawariantne (zapisywane z górnymi indeksami): gdy zostały wyrażone jako kombinacje liniowe wektorów bazy kowariantnej
współrzędne kowariantne (zapisywane z dolnymi indeksami): gdy zostały wyrażone jako kombinacje liniowe wektorów bazy kontrawariantnej
Uwagi: