Pochodna absolutna dana jest więc wyrażeniem
Podobnie dla wektora kowariantnego
Jeżeli funkcja wektorowa nie zależy jawnie od parametru to pochodne cząstkowe zerują się, tj. oraz
i powyższe wzory upraszczają się.
Zasady modyfikacji tensorów Jeżeli chce się równania tensorowe znane ze współrzędnych ortokartezjańskich zapisać we współrzędnych krzywoliniowych, to obowiązuje zasada, iż pochodne cząstkowe przechodzą na pochodne kowariantne, a różniczki zupełne przechodzą na różniczki absolutne.
Przykład 1: Równania ruchu cząstki w polu grawitacyjnym (a) Jeżeli cząstka nie podlega oddziaływaniom, to jej przyspieszenie jest zerowe, tj.
gdzie: – czteroprędkość cząstki, – różniczkowy przyrost tzw. interwału czasoprzestrzennego mierzony wzdłuż trajektorii cząstki; równoważnie można zapisać, że różniczka 4-prędkości cząstki zeruje się, tj.
(b) Przechodząc do układu współrzędnych krzywoliniowych, równanie ruchu cząstki niepodlegającej oddziaływaniom należy zmodyfikować, zamieniając różniczkę zupełną na różniczkę absolutną, tj.:
Różniczka absolutna wektora kowariantnego dana jest zależnością:
lub
gdzie: – różniczka 4-prędkości cząstki.
Stąd mamy równanie ruchu cząstki w układzie krzywoliniowym
Dzieląc przez i uwzględniając, że znajdujemy