gdzie równość wynika z zapisania jako i skorzystania z addytywności podczas gdy drugą nierówność uzyskuje się zauważając, że stanowi pokrycie podobnie ma się rzecz dla Z dowolności wynika, iż
Nierówność w drugą stronę wynika z podaddytywności
Podsumowanie Wychodząc od skonstruowano miarę zewnętrzną która zawężona σ-algebry staje się miarą Wykazano, że algebra zawiera się w a miara dla wszystkich elementów pokrywa się z będącą jej początkiem przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów Aby zakończyć pierwszą część twierdzenia należy zauważyć, że jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą zaś co daje Zatem nadużywając notacji poprzez dalsze oznaczanie za pomocą miary określonej na jej zawężenia do można powiedzieć, iż jest poszukiwaną przestrzenią mierzalną.
Należy wspomnieć, iż w ogólności choć jest zupełna (część twierdzenia Carathéodory’ego), to przestrzeń nie musi taka być: ważnym przykładem jest, gdy jest σ-algebrą borelowską na zaś to miara Lebesgue’a.