Z twierdzenia Carathéodory’ego istnieje przestrzeń mierzalna zupełna gdzie

jest σ-algebrą zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego (spełniających warunek Carathéodory’ego), a zawężeniem do

Poprawność rozszerzenia Niżej zostanie wykazane, że dla dowolnego należącego do jest jest przeliczalnym pokryciem zbioru

W szczególności dla rodziny zachodzi

Niech rodzina podzbiorów pokrywa zbiór Nierówność w drugą stronę uzyskuje się rozbijając w szereg za pomocą rodziny zbiorów rozłącznych związanych z korzystając z σ-addytywności skąd łatwo wyprowadzić żądaną tezę. Z każdą rodziną można związać rodzinę parami rozłącznych zbiorów taką, że dla dowolnej liczby naturalnej suma pierwszych zbiorów jest równa sumie pierwszych zbiorów Wspomnianą rodzinę otrzymuje się oznaczając Jak już wspomniano, suma wszystkich zawiera dlatego

gdzie nierówności wynikają z monotoniczności Ponieważ dotyczy to także pokrywającej to

Zawieranie Dowiedzenie, iż należy do oznacza wykazanie, iż

dla dowolnego zbioru W związku z tym należy przybliżyć za pomocą rodziny pokrywającej którą to właśnie, zamiast należy rozbić korzystając z addytywności Dokładniej, dla każdego istnieje pokrycie zbioru takie, że