Jedyność Niżej zakłada się, że jest σ-skończona. Niech będzie miarą na będącą rozszerzeniem podczas gdy dalej będzie oznaczać miarę, także na skonstruowaną jak wyżej. Wykazaniu równości tych miar przysłuży się skorzystanie z σ-skończoności, co umożliwi pracę w przestrzeni o mierze skończonej. Niech będzie rodziną zbiorów miary skończonej o sumie równej Można założyć, że są parami rozłączne, gdyż można rozważać rodzinę daną wzorem Miary dają tę samą wartość na zbiorze mierzalnym jeżeli zgadzają się na wszystkich przekrojach co w tym przypadku oznacza, iż
Wystarczy więc dowieść, że jeśli jest miary skończonej i zawiera się w to Aby porównać wspomniane miary należy rozważyć rodzinę stanowiącą pokrycie wówczas
skąd gdyż nierówność zachodzi dla dowolnego pokrycia zbioru zaś jest kresem dolnym wyrazów po prawej stronie. Ponadto Ponieważ należy do a jego rozbiciem jest to
a stąd
Konieczność założenia σ-skończoności
Jeżeli nie jest σ-skończona, to rozszerzenie nie musi być wyznaczone jednoznacznie, nawet jeśli jest ono σ-skończone.
Niech oznacza zaś oznacza algebrę wszystkich skończonych sum wymiernych przedziałów domknięto-otwartych zawartych w Można dowieść, że jest algebrą, a każdy niepusty zbiór w jest nieskończony.