całka górna wartości bezwzględnej definiuje półnormę na która jest przestrzenią zupełną względem topologii wyznaczonej przez półnormę; definicja przestrzeni funkcji całkowalnych jako domknięcie przestrzeni funkcji ciągłych o nośniku zwartym wewnątrz definicja całki dla funkcji z jako rozszerzenia poprzez ciągłość po uprzednim sprawdzeniu, że jest ciągła względem topologii na definicja miary zbioru jako całki (o ile istnieje) funkcji charakterystycznej zbioru.
Można sprawdzić, że kroki te dają teorię identyczną z tą, w której zaczyna się od miary Radona zdefiniowanej jako funkcja przypisująca liczbę każdemu zbiorowi borelowskiemu przestrzeni
Miara Lebesgue’a na może być wprowadzona na kilka sposobów przy użyciu podejścia analizy funkcjonalnej. Po pierwsze można oprzeć się na „elementarnej” całce takiej jak całka Daniella-Stone’a, czy całka Riemanna do całkowania funkcji ciągłych o zwartym nośniku, ponieważ są one całkowalne dla wszystkich elementarnych definicji całek. Miara (w wyżej zdefiniowanym sensie) określona przez elementarne całkowanie jest w istocie miarą Lebesgue’a.