wyklucza to ciała skończone ciała muszą mieć dodatkową strukturę, np. wyróżniony automorfizm
(4) Rozważa się także przestrzenie liniowe z funkcjonałami spełniającymi powyższe postulaty z pominięciem postulatu dodatniej określoności. Więcej na ten temat jest w dalszej części artykułu.
(5) Odwzorowanie z w przestrzeń dualną dane wzorem
jest izomorfizmem. Odwzorowanie to oznacza, że wektorowi przypisuje się funkcjonał, który działając na dowolny wektor, przypisuje mu wartość iloczynu skalarnego z wektorem Izomorfizm oznacza, że przyporządkowanie to jest wzajemnie jednoznaczne.
Dowód: Bezpośrednio z liniowości ze względu na pierwszą zmienną wynika, że jest to homomorfizm przestrzeni liniowych. Łatwo sprawdza się, że odwzorowanie to jest również iniektywne: dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy
W skończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych warunek ten jest wystarczający do stwierdzenia, iż jest to izomorfizm.
Konwencje oznaczeń (1) Niektórzy autorzy stosują konwencję: oznacza liniowość ze względu na pierwszy argument, oznacza liniowość ze względu na drugi argument,
– ale nie jest to regułą (np.