Stworzenie przez Kleina modelu dla takiej teorii definitywnie zamknęło problem – aksjomat ten okazał się niezależny od pierwszych czterech.
Współcześnie geometria absolutna jest teorią, która ma dokładnie dwa rozszerzenia do teorii kategorycznej w zależności od tego, czy dołączy się do niej aksjomat Euklidesa o równoległych, czy też jego zaprzeczenie. W pierwszym przypadku jest to geometria euklidesowa, w drugim – geometria hiperboliczna.
Zdania równoważne W zasadzie aż do XVII w. wszystkie próby udowodnienia aksjomatu Euklidesa sprowadzały się do „przemycenia” zdania, które dowodzący uważał za wynikające z pierwszych czterech postulatów, a które okazywało się być zdaniem równoważnym piątemu postulatowi. Za każdym razem skutkowało to dalszym przedłużaniem listy takich zdań.